| de ABC formule (2 afleidingen + toepassing) |  |
De ABC- formule geeft de nulpunten van een willekeurige kwadratische vergelijking (grafiek: parabool)
- y = ax2 + bx + c
Een eenvoudiger vorm van een kwadratische vergelijking ontstaat voor b = 0:
- y = ax2 + c
- ax2 + c = 0
We bepalen de nulpunten van y = 0,125x2 - 18
- 0125x2 - 18 = 0
x2 = 144
x = 12 .............of...
x = -12
Voor het geval c = 0 is het ook niet moeilijk de nulpunten te vinden.
De vergelijking gaat dan over in
- y = ax2 + bx ..................zodat
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
of
x = 0
of
ax + b = 0
We bepalen de nulpunten van y = x2 - 7x
- x2 - 7x = 0
x(x - 7) = 0
x = 0 .............of...
x - 7 = 0
x = 7
Bekijk de vergelijking
- y = x2 + 2x + 1
- y = (x+1)2
- (x+1)2 = 0
x + 1 = 0
x = -1
- y = x2 + 2x - 3
maar dat kwadraat kunnen we wel "inbakken"
- y = x2 + 2x + 1 - 1- 3.....zodat
y = (x+1)2 - 4
- (x+1)2 - 4 = 0
(x+1)2 = 4
of
x+1 = 2
x = 1
of
x+1 = -2
x = -3
Het komt erop neer, dat we de kwadratische vergelijking schrijven in de vorm
- y = (x + p)2 + q
of
y = x2 + 2px + p2 + q
p2 moet direct weer worden afgetrokken om de vergelijking niet te veranderen.Voorbeeld
Bekijk
- x2 - 7x + 2 = 0
De vergelijking schrijven we nu in de vorm
vereenvoudigd en opgelost
Nu dan de algemene oplossing van
ax2 + bc + c = 0Delen door a levert:
daarbij is
Zodat de vergelijking met afgesplitst kwadraat geschreven moet worden als
wat netter geschreven
De oplossingen zijn
- - de nulpunten liggen symmetrisch t.o.v. de as
- D = b2 - 4ac heet de "discriminant
- voor D < 0 zijn er geen nulpunten
- voor D = 0 is er 1 nulpunt, de parabool raakt de x-as
- voor D > 0 zijn er 2 nulpunten
Als in een vergelijking x consequent wordt vervangen door (x+1) dan zal de grafiek 1 naar links schuiven.
Neem een algemene vergelijking
- ......x......y...... = .....x.....y.......
Stel eens, dat de vergelijking klopt voor x = 3 en y = 10, dus het punt (3,10) ligt op de grafiek.
Nu vervangen we (x) door (x+1), zodat
- ........(x+1)....y...........= .......(x+1).........y...........
De grafiek is 1 plaats naar links geschoven.
Algemeen
- Als in een vergelijking (x) wordt vervangen door (x+h)
dan
zal de grafiek een afstand h naar links schuiven
- y = ax2 + bx + c
De nulpunten zijn dan, zoals hiervoor beschreven, eenvoudig te vinden
- ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0
of
ax + b = 0
en we verschuiven de grafiek over deze afstand, zodat dit middelpunt op de oorsprong terechtkomt.
Er geldt dus
De oorspronkelijke vergelijking gaat dan over in
deze formule is van het type y = Ax2 + B, de y-as is de symmetrie-as
Van de horizontaal verschoven grafiek zijn de nulpunten
- 4a2x2 - b2 + 4ac = 0
4a2x2 = b2 - 4ac
Resteert, de gevonden nulpunten weer terug te schuiven,
dat doen we door x te vervangen door 
zodat
Wat in overeenstemming is met de uitkomst van methode-1
Een grappige toepassingEen puzzle bestaat uit een bord met vakjes. In sommige vakjes staan kruisjes afgebeeld.
Die kruisjes worden opgesteld onder een horizontale lijn. Een kruisje mag horizontaal
of vertikaal over een aangrenzend kruisje in een open vakje springen.
Het kruisje waar overheen wordt gesprongen moet daarbij worden verwijderd.
Een soort "slaan" als bij dammen, maar dan binnen een rij of kolom.
Een puzzle is opgelost, als het aangegeven vakje (aangegeven met een rondje) is bereikt.
De puzzle hieronder is in één zet op te lossen:
 |  |  |
 | |  | | | | |
kruisjes nodig voor een oplossing.
Deze puzzle is in vijf zetten op te lossen:
zijn er -rekenkundige- criteria op te stellen om bij voorbaat de oplosbaarheid van een
puzzle te bepalen?
We gaan uit van de eindstand.
| X |
| 0 |
| 0 |
| 0 |
| X |
| X |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | X | X |
| 0 | X | X |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | X | 0 | X | X |
| 0 | X | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | X | 0 | 0 |
| 0 | 0 | X | 0 | 0 |
Stel deze energie gelijk aan "1" in het gele vakje, dat uiteindelijk bezet moet worden.
Stel ook, dat elk vakje minder energie bevat naarmate het verder van het gele vakje af ligt.
Bij elke vakje neemt die energie met een factor p af.
De energie-verdeling ziet er dan zo uit:
| 1 | p | p2 | p3 |
| p | p2 | p3 | p4 |
| p2 | p3 | p4 | p5 |
| p3 | p4 | p5 | p6 |
Dan moet gelden:
- p2 + p = 1 en ook:
p3 + p2 = p enzovoorts
Toepassing van de ABC formule levert dan op: p = 0,618033988.
Van elk vakje met een X kan nu de energie worden berekend.
Als de som van deze energiën kleiner is dan 1, dan is geen oplossing mogelijk.
